Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 126

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 126

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) не ограничена, то существует подпоследовательность xpnx_{p_n} такая, чтоlim⁡n→∞xpn=∞.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\infty.

Доказательство

Так как последовательность xnx_n не ограничена, для любого M>0M>0 найдется номер nn, для которого∣xn∣>M.|x_n|>M.Выберем p1p_1 так, чтобы∣xp1∣>1.|x_{p_1}|>1.После отбрасывания конечного числа первых членов оставшаяся последовательность также не ограничена. Поэтому можно выбратьp2>p1,∣xp2∣>2.p_2>p_1,\qquad |x_{p_2}|>2.Продолжая этот процесс, получаемp1<p2<…,∣xpk∣>k.p_1<p_2<\ldots,\qquad |x_{p_k}|>k.Следовательно,∣xpk∣→+∞,|x_{p_k}|\to+\infty,то естьlim⁡k→∞xpk=∞.\boxed{\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{p_k}=\infty}.

Что и требовалось доказать