Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 136

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 136

Доказать, что если последовательность xnx_n ограничена иlim⁡n→∞(xn+1−xn)=0,\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0,то любое число отрезка[l,L],l=lim‾⁡n→∞xn,L=lim‾⁡n→∞xn,[l,L],
\qquad
l=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
L=\varlimsup_{n\to\infty}x_n,является частичным пределом последовательности.

Доказательство

Идея

Числа ll и LL уже являются частичными пределами. Возьмем произвольное c∈(l,L)c\in(l,L) и покажем, что оно тоже является частичным пределом.
Пусть ε>0\varepsilon>0, причем можно считатьε<min⁡{c−l,L−c}.\varepsilon<\min\{c-l,L-c\}.Из xn+1−xn→0x_{n+1}-x_n\to0 существует номер NN такой, что при n≥Nn\geq N∣xn+1−xn∣<ε.|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.Поскольку l<c−εl<c-\varepsilon, сколь угодно далеко в последовательности встречаются члены меньше c−εc-\varepsilon. Аналогично, из L>c+εL>c+\varepsilon следует, что сколь угодно далеко встречаются члены больше c+εc+\varepsilon. Поэтому можно выбратьn1>N,xn1<c−ε,n_1>N,\qquad x_{n_1}<c-\varepsilon,а затемn2>n1,xn2>c+ε.n_2>n_1,\qquad x_{n_2}>c+\varepsilon.Пусть mm — первый индекс между n1n_1 и n2n_2, для которого xm≥cx_m\geq c. Тогда xm−1<cx_{m-1}<c, а так как m−1≥n1>Nm-1\geq n_1>N, то ∣xm−xm−1∣<ε|x_m-x_{m-1}|<\varepsilon. Получаемc≤xm<xm−1+ε<c+ε,c\leq x_m
<
x_{m-1}+\varepsilon
<
c+\varepsilon,то есть ∣xm−c∣<ε|x_m-c|<\varepsilon.

Проверка

Такие индексы mm можно находить сколь угодно далеко. Выбирая последовательноm1<m2<…,∣xmk−c∣<1k,m_1<m_2<\ldots,
\qquad
|x_{m_k}-c|<\frac1k,получаем xmk→cx_{m_k}\to c. Значит, каждое число c∈[l,L]c\in[l,L] является частичным пределом.

Что и требовалось доказать

Демидович № 136 — решение