Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 136

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 136

Доказать, что если последовательность xnx_n ограничена иlim⁡n→∞(xn+1−xn)=0,\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0,то любое число отрезка[l,L],l=lim‾⁡n→∞xn,L=lim‾⁡n→∞xn,[l,L],
\qquad
l=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
L=\varlimsup_{n\to\infty}x_n,является частичным пределом последовательности.

Доказательство

Сначала рассмотрим внутреннюю точку l<c<Ll<c<L. Пусть ε>0\varepsilon>0, причёмε<min⁡{c−l,L−c}.\varepsilon<\min\{c-l,L-c\}.Из xn+1−xn→0x_{n+1}-x_n\to0 существует номер NN такой, что при n≥Nn\geq N∣xn+1−xn∣<ε.|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.
Поскольку l<c−εl<c-\varepsilon, сколь угодно далеко в последовательности встречаются члены меньше c−εc-\varepsilon. Аналогично, из L>c+εL>c+\varepsilon следует, что сколь угодно далеко встречаются члены больше c+εc+\varepsilon. Поэтому можно выбратьn1>N,xn1<c−ε,n_1>N,\qquad x_{n_1}<c-\varepsilon,а затемn2>n1,xn2>c+ε.n_2>n_1,\qquad x_{n_2}>c+\varepsilon.Пусть mm — первый индекс между n1n_1 и n2n_2, для которого xm≥cx_m\geq c. Тогда xm−1<cx_{m-1}<c, а так как m−1≥n1>Nm-1\geq n_1>N, то ∣xm−xm−1∣<ε|x_m-x_{m-1}|<\varepsilon. Получаемc≤xm<xm−1+ε<c+ε,c\leq x_m
<
x_{m-1}+\varepsilon
<
c+\varepsilon,то есть ∣xm−c∣<ε|x_m-c|<\varepsilon.

Такие индексы mm можно находить сколь угодно далеко. Повторяя построение с εk<min⁡{1/k,c−l,L−c}\varepsilon_k<\min\{1/k,c-l,L-c\}, выбираем последовательноm1<m2<…,∣xmk−c∣<1k,m_1<m_2<\ldots,
\qquad
|x_{m_k}-c|<\frac1k,и получаем xmk→cx_{m_k}\to c.

Концы отрезка также являются частичными пределами. Действительно, положимaN=inf⁡n≥Nxn⟶l,bN=sup⁡n≥Nxn⟶L.a_N=\inf_{n\ge N}x_n\longrightarrow l,
\qquad
b_N=\sup_{n\ge N}x_n\longrightarrow L.Пусть p0=q0=0p_0=q_0=0. Последовательно выберем Nk>max⁡{pk−1,qk−1}N_k>\max\{p_{k-1},q_{k-1}\} и индексы pk,qk≥Nkp_k,q_k\ge N_k так, чтобыaNk≤xpk<aNk+1k,bNk−1k<xqk≤bNk.a_{N_k}\le x_{p_k}<a_{N_k}+\frac1k,
\qquad
b_{N_k}-\frac1k<x_{q_k}\le b_{N_k}.Существование таких индексов следует из определения точной нижней и верхней граней хвоста. Тогда xpk→lx_{p_k}\to l, xqk→Lx_{q_k}\to L. В частности, этот довод охватывает и случай l=Ll=L. Следовательно, всякая точка отрезка [l,L][l,L] является частичным пределом.

Что и требовалось доказать

Демидович № 136 — решение | Высшая математика — Профиматика