Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1

Демидович § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Условия, ответы и подробные решения задач 1628–1865

Задачи 1628–1865

238 из 238 с разбором

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1628

∫(3−x2)3 dx\displaystyle\int(3-x^2)^3\,dx.

Задача 1629

∫x2(5−x)4 dx\displaystyle\int x^2(5-x)^4\,dx.

Задача 1630

∫(1−x)(1−2x)(1−3x) dx\displaystyle\int(1-x)(1-2x)(1-3x)\,dx.

Задача 1631

∫(1−xx)2 dx\displaystyle\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^2\,dx.

Задача 1632

∫(ax+a2x2+a3x3)dx\displaystyle\int\left(\frac a x+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}\right)dx.

Задача 1633

∫x+1x dx\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt x}\,dx.

Задача 1634

∫x−2x23+1x4 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt x-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]x}\,dx.

Задача 1635

∫(1−x)3xx3 dx\displaystyle\int\frac{(1-x)^3}{x\sqrt[3]x}\,dx.

Задача 1636

∫(1−1x2)xx dx\displaystyle\int\left(1-\frac1{x^2}\right)\sqrt{x\sqrt x}\,dx.

Задача 1637

∫(2x−3x3)2x dx\displaystyle\int\frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x}\,dx.

Задача 1638

∫x4+x−4+2x3 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\,dx.

Задача 1639

∫x2 dx1+x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{1+x^2}.

Задача 1640

∫x2 dx1−x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{1-x^2}.

Задача 1641

∫x2+3x2−1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+3}{x^2-1}\,dx.

Задача 1642

∫1+x2+1−x21−x4 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}\,dx.

Задача 1643

∫x2+1−x2−1x4−1 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}}\,dx.

Задача 1644

∫(2x+3x)2 dx\displaystyle\int(2^x+3^x)^2\,dx.

Задача 1645

∫2x+1−5x−110x dx\displaystyle\int\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\,dx.

Задача 1646

∫e3x+1ex+1 dx\displaystyle\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}\,dx.

Задача 1647

∫(1+sin⁡x+cos⁡x) dx\displaystyle\int(1+\sin x+\cos x)\,dx.

Задача 1648

∫1−sin⁡2x dx\displaystyle\int\sqrt{1-\sin2x}\,dx (0≤x≤π)(0\le x\le\pi).

Задача 1649

∫ctg⁡2x dx\displaystyle\int\ctg^2x\,dx.

Задача 1650

∫tg⁡2x dx\displaystyle\int\tg^2x\,dx.

Задача 1651

∫(ash⁡x+bch⁡x) dx\displaystyle\int(a\sh x+b\ch x)\,dx.

Задача 1652

∫tanh⁡2x dx\displaystyle\int\tanh^2x\,dx.

Задача 1653

∫cth⁡2x dx\displaystyle\int\cth^2x\,dx.

Задача 1654

Доказать, что если∫f(x) dx=F(x)+C,\int f(x)\,dx=F(x)+C,то∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C(a≠0).\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C\qquad(a\ne0).
Найти интегралы:

Задача 1655

∫dxx+a\displaystyle\int\frac{dx}{x+a}.

Задача 1656

∫(2x−3)10 dx\displaystyle\int(2x-3)^{10}\,dx.

Задача 1657

∫1−3x3 dx\displaystyle\int\sqrt[3]{1-3x}\,dx.

Задача 1658

∫dx2−5x\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2-5x}}.

Задача 1659

∫dx(5x−2)5/2\displaystyle\int\frac{dx}{(5x-2)^{5/2}}.

Задача 1660

∫1−2x+x251−x dx\displaystyle\int\frac{\sqrt[5]{1-2x+x^2}}{1-x}\,dx.

Задача 1661

∫dx2+3x2\displaystyle\int\frac{dx}{2+3x^2}.

Задача 1662

∫dx2−3x2\displaystyle\int\frac{dx}{2-3x^2}.

Задача 1663

∫dx2−3x2\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}}.

Задача 1664

∫dx3x2−2\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}}.

Задача 1665

∫(e−x+e−2x) dx\displaystyle\int(e^{-x}+e^{-2x})\,dx.

Задача 1666

∫(sin⁡5x−sin⁡5α) dx\displaystyle\int(\sin5x-\sin5\alpha)\,dx.

Задача 1667

∫dxsin⁡2(2x+π4)\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}.

Задача 1668

∫dx1+cos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos x}.

Задача 1669

∫dx1−cos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1-\cos x}.

Задача 1670

∫dx1+sin⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x}.

Задача 1671

∫[sh⁡(2x+1)+ch⁡(2x−1)] dx\displaystyle\int[\sh(2x+1)+\ch(2x-1)]\,dx.

Задача 1672

∫dxch⁡2x2\displaystyle\int\frac{dx}{\ch^2\frac x2}.

Задача 1673

∫dxsh⁡2x2\displaystyle\int\frac{dx}{\sh^2\frac x2}.
Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1674

∫x dx1−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1675

∫x21+x33 dx\displaystyle\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx.

Задача 1676

∫x dx3−2x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{3-2x^2}.

Задача 1677

∫x dx(1+x2)2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1+x^2)^2}.

Задачи 1–50 из 238