Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1635

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(1-x)^3}{x\sqrt[3]x}\,dx

Ответ:

-3x^{-1/3}-\frac92x^{2/3}+\frac95x^{5/3}-\frac38x^{8/3}+C.

Решение

При

x\ne0

имеем

x\sqrt[3]{x}=x^{4/3}

. Раскроем куб и разделим каждое слагаемое на знаменатель. Полученную сумму интегрируем почленно:

\displaystyle \int\frac{(1-x)^3}{x\sqrt[3]{x}}\,dx\mathrel{=}