Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1643

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1643

∫x2+1−x2−1x4−1 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}}\,dx.
Ответ:ln⁡∣x+x2−1∣−ln⁡∣x+x2+1∣+C.\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|-\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C.

Решение

Интеграл рассматриваем при ∣x∣>1|x|>1. Поскольку x4−1=(x2−1)(x2+1)x^4-1=(x^2-1)(x^2+1),x4−1=x2−1x2+1.\sqrt{x^4-1}=\sqrt{x^2-1}\sqrt{x^2+1}.Полученную разность интегрируем почленно:∫x2+1−x2−1x4−1 dx=\displaystyle \int\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}}\,dx\mathrel{=}∫dxx2−1−∫dxx2+1=\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\mathrel{=}ln⁡∣x+x2−1∣−ln⁡∣x+x2+1∣+C.\displaystyle \ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|-\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C.Оба полученных интеграла табличные.
Демидович № 1643 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика