Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1649

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\ctg^2x\,dx

Ответ:

-\operatorname{ctg}x-x+C.

Решение

Из тождества

1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}

имеем

\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}-1

. Полученную разность интегрируем почленно:

\displaystyle \int\operatorname{ctg}^2x\,dx\mathrel{=}

Интеграл

\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C

табличный.