Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1676

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1676

∫x dx3−2x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{3-2x^2}.
Ответ:−14ln⁡∣3−2x2∣+C,x≠±32-\dfrac{1}{4}\ln|3-2x^2|+C,
\qquad x\ne\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}

Решение

Знаменатель обращается в нуль при x=±32x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}. Заметим, что(ln⁡∣3−2x2∣)′=−4x3−2x2\left(\ln|3-2x^2|\right)'
=-\dfrac{4x}{3-2x^2}Поэтому∫x dx3−2x2=−14ln⁡∣3−2x2∣+C\int\dfrac{x\,dx}{3-2x^2}
=-\dfrac{1}{4}\ln|3-2x^2|+CФормула справедлива на каждом промежутке области определения; постоянные интегрирования на разных промежутках могут быть различными.