Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1645

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1645

∫2x+1−5x−110x dx\displaystyle\int\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\,dx.
Ответ:−2ln⁡5(15)x+15ln⁡2(12)x+C.-\frac2{\ln5}\left(\frac15\right)^x+\frac1{5\ln2}\left(\frac12\right)^x+C.

Решение

Представим 10x как 2x5x10^x \space как \space2^x5^x и упростим оба слагаемых. Полученную разность интегрируем почленно:∫2x+1−5x−110x dx=\displaystyle \int\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\,dx\mathrel{=}∫(2⋅2x2x5x−5x/52x5x)dx=\displaystyle \int\left(\frac{2\cdot2^x}{2^x5^x}-\frac{5^x/5}{2^x5^x}\right)dx\mathrel{=}2∫(15)xdx−15∫(12)xdx=\displaystyle 2\int\left(\frac15\right)^x dx-\frac15\int\left(\frac12\right)^x dx\mathrel{=}−2ln⁡5(15)x+15ln⁡2(12)x+C.\displaystyle -\frac2{\ln5}\left(\frac15\right)^x+\frac1{5\ln2}\left(\frac12\right)^x+C.Полученные интегралы показательных функций табличные.
Демидович № 1645 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика