Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1673

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sh^2\frac x2}

Ответ:

-2\operatorname{cth}\dfrac{x}{2}+C, \qquad x\ne0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Положим

t=\dfrac{x}{2}, \qquad dx=2\,dt

Используем табличную формулу

\int\dfrac{dt}{\operatorname{sh}^2t} =-\operatorname{cth}t+C

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\operatorname{sh}^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} &=2\int\dfrac{dt}{\operatorname{sh}^2t}=\\ &=-2\operatorname{cth}t+C =-2\operatorname{cth}\dfrac{x}{2}+C\end{aligned}

Формула справедлива на каждом из промежутков

(-\infty;0)

(0;+\infty)

; постоянные интегрирования на них могут быть различными.