Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4

Демидович § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1991–2065

Задачи 1991–2065

75 из 75 с разбором

Найти интегралы:

Задача 1991

\displaystyle\int\cos^5x\,dx

Задача 1992

\displaystyle\int\sin^6x\,dx

Задача 1993

\displaystyle\int\cos^6x\,dx

Задача 1994

\displaystyle\int\sin^2x\cos^4x\,dx

Задача 1995

\displaystyle\int\sin^4x\cos^5x\,dx

Задача 1996

\displaystyle\int\sin^5x\cos^5x\,dx

Задача 1997

\displaystyle\int\frac{\sin^3x}{\cos^4x}\,dx

Задача 1998

\displaystyle\int\frac{\cos^4x}{\sin^3x}\,dx

Задача 1999

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^3x}

Задача 2000

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos^3x}

Задача 2001

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^4x\cos^4x}

Задача 2002

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^3x\cos^5x}

Задача 2003

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x\cos^4x}

Задача 2004

\displaystyle\int\tg^5x\,dx

Задача 2005

\displaystyle\int\ctg^6x\,dx

Задача 2006

\displaystyle\int\frac{\sin^4x}{\cos^6x}\,dx

Задача 2007

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\cos^5x}}

Задача 2008

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x\sqrt[3]{\sin^2x}}

Задача 2009

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{\tg x}}

Задача 2010

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}

Задача 2011

Вывести формулы понижения для интегралов:

\text{а) } I_n=\int\sin^n x\,dx;\qquad\text{б) } K_n=\int\cos^n x\,dx\quad(n>2)

и с их помощью вычислить

\int\sin^6x\,dx\quad\text{и}\quad\int\cos^8x\,dx.

Задача 2012

Вывести формулы понижения для интегралов:

\text{а) } I_n=\int\frac{dx}{\sin^n x};\qquad\text{б) } K_n=\int\frac{dx}{\cos^n x}\quad(n>2)

и с их помощью вычислить

\int\frac{dx}{\sin^5x}\quad\text{и}\quad\int\frac{dx}{\cos^7x}.

Задача 2013

\displaystyle\int\sin5x\cos x\,dx

Задача 2014

\displaystyle\int\cos x\cos2x\cos3x\,dx

Задача 2015

\displaystyle\int\sin x\sin\frac x2\sin\frac x3\,dx

Задача 2016

\displaystyle\int\sin x\sin(x+a)\sin(x+b)\,dx

Задача 2017

\displaystyle\int\cos^2ax\cos^2bx\,dx

Задача 2018

\displaystyle\int\sin^32x\cdot\cos^23x\,dx

Задача 2019

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin(x+a)\sin(x+b)}

Задача 2020

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin(x+a)\cos(x+b)}

Задача 2021

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos(x+a)\cos(x+b)}

Задача 2022

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x-\sin a}

Задача 2023

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x+\cos a}

Задача 2024

\displaystyle\int\tg x\tg(x+a)\,dx

Задача 2025

\displaystyle\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+5}

Задача 2026

\displaystyle\int\frac{dx}{(2+\cos x)\sin x}

Задача 2027

\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}\,dx

Задача 2028

\displaystyle\int\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x}

при: а)

0<\varepsilon<1

; б)

\varepsilon>1

Задача 2029

\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{1+\sin^2x}\,dx

Задача 2030

\displaystyle\int\frac{dx}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}

Задача 2031

\displaystyle\int\frac{\cos^2x\,dx}{(a^2\sin^2x+b^2\cos^2x)^2}

Задача 2032

\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx

Задача 2033

\displaystyle\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^2}

Задача 2034

\displaystyle\int\frac{\sin x\,dx}{\sin^3x+\cos^3x}

Задача 2035

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}

Задача 2036

\displaystyle\int\frac{\sin^2x\cos^2x}{\sin^8x+\cos^8x}\,dx

Задача 2037

\displaystyle\int\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx

Задача 2038

\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4x}\,dx

Задача 2039

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^6x+\cos^6x}

Задача 2040

\displaystyle\int\frac{dx}{(\sin^2x+2\cos^2x)^2}

Задачи 1–50 из 75