Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1

Демидович § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Условия, ответы и подробные решения задач 1628–1865

Задачи 1628–1865

238 из 238 с разбором

Применяя тригонометрические подстановки x=asin⁡tx=a\sin t, x=atg⁡tx=a\tg t, x=asin⁡2tx=a\sin^2t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1778

∫dx(1−x2)3/2\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}.

Задача 1779

∫x2 dxx2−2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{x^2-2}}.

Задача 1780

∫1−x2 dx\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx.

Задача 1781

∫dx(x2+a2)3/2\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}.

Задача 1782

∫a+xa−x dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,dx.

Задача 1783

∫xx2a−x dx\displaystyle\int x\sqrt{\frac{x}{2a-x}}\,dx.

Задача 1784

∫dx(x−a)(b−x)\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}.

Задача 1785

∫(x−a)(b−x) dx\displaystyle\int\sqrt{(x-a)(b-x)}\,dx.
Применяя гиперболические подстановки x=ash⁡tx=a\sh t, x=ach⁡tx=a\ch t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1786

∫a2+x2 dx\displaystyle\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx.

Задача 1787

∫x2 dxa2+x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{a^2+x^2}}.

Задача 1788

∫x−ax+a dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\,dx.

Задача 1789

∫dx(x+a)(x+b)\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}.

Задача 1790

∫(x+a)(x+b) dx\displaystyle\int\sqrt{(x+a)(x+b)}\,dx.
Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

Задача 1791

∫ln⁡x dx\displaystyle\int\ln x\,dx.

Задача 1792

∫xnln⁡x dx\displaystyle\int x^n\ln x\,dx (n≠−1)(n\ne-1).

Задача 1793

∫(ln⁡xx)2 dx\displaystyle\int\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2\,dx.

Задача 1794

∫x ln⁡2x dx\displaystyle\int\sqrt x\,\ln^2x\,dx.

Задача 1795

∫xe−x dx\displaystyle\int xe^{-x}\,dx.

Задача 1796

∫x2e−2x dx\displaystyle\int x^2e^{-2x}\,dx.

Задача 1797

∫x3e−x2 dx\displaystyle\int x^3e^{-x^2}\,dx.

Задача 1798

∫xcos⁡x dx\displaystyle\int x\cos x\,dx.

Задача 1799

∫x2sin⁡2x dx\displaystyle\int x^2\sin2x\,dx.

Задача 1800

∫xsh⁡x dx\displaystyle\int x\sh x\,dx.

Задача 1801

∫x3ch⁡3x dx\displaystyle\int x^3\ch3x\,dx.

Задача 1802

∫arctg⁡x dx\displaystyle\int\arctg x\,dx.

Задача 1803

∫arcsin⁡x dx\displaystyle\int\arcsin x\,dx.

Задача 1804

∫xarctg⁡x dx\displaystyle\int x\arctg x\,dx.

Задача 1805

∫x2arccos⁡x dx\displaystyle\int x^2\arccos x\,dx.

Задача 1806

∫arcsin⁡xx2 dx\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{x^2}\,dx.

Задача 1807

∫ln⁡(x+1+x2)dx\displaystyle\int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx.

Задача 1808

∫xln⁡1+x1−x dx\displaystyle\int x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx.

Задача 1809

∫arctg⁡x dx\displaystyle\int\arctg\sqrt x\,dx.

Задача 1810

∫sin⁡x⋅ln⁡(tg⁡x) dx\displaystyle\int\sin x\cdot\ln(\tg x)\,dx.
Найти следующие интегралы:

Задача 1811

∫x5ex3 dx\displaystyle\int x^5e^{x^3}\,dx.

Задача 1812

∫(arcsin⁡x)2 dx\displaystyle\int(\arcsin x)^2\,dx.

Задача 1813

∫x(arctg⁡x)2 dx\displaystyle\int x(\arctg x)^2\,dx.

Задача 1814

∫x2ln⁡1−x1+x dx\displaystyle\int x^2\ln\frac{1-x}{1+x}\,dx.

Задача 1815

∫xln⁡(x+1+x2)1+x2 dx\displaystyle\int\frac{x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Задача 1816

∫x2(1+x2)2 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx.

Задача 1817

∫dx(a2+x2)2\displaystyle\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^2}.

Задача 1818

∫a2−x2 dx\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx.

Задача 1819

∫x2+a dx\displaystyle\int\sqrt{x^2+a}\,dx.

Задача 1820

∫x2a2+x2 dx\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}\,dx.

Задача 1821

∫xsin⁡2x dx\displaystyle\int x\sin^2x\,dx.

Задача 1822

∫ex dx\displaystyle\int e^{\sqrt x}\,dx.

Задача 1823

∫xsin⁡x dx\displaystyle\int x\sin\sqrt x\,dx.

Задача 1824

∫xearctg⁡x(1+x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 1825

∫earctg⁡x(1+x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{e^{\arctg x}}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 1826

∫sin⁡(ln⁡x) dx\displaystyle\int\sin(\ln x)\,dx.

Задача 1827

∫cos⁡(ln⁡x) dx\displaystyle\int\cos(\ln x)\,dx.

Задачи 151–200 из 238