Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1664

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1664

∫dx3x2−2\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}}.
Ответ:13ln⁡∣3 x+3x2−2∣+C.\frac1{\sqrt3}\ln\left|\sqrt3\,x+\sqrt{3x^2-2}\right|+C.

Решение

Перепишем выражение под корнем и сделаем замену, чтобы получить табличный интеграл вида ∫duu2−a2=ln⁡∣u+u2−a2∣+C\int\frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}=\ln|u+\sqrt{u^2-a^2}|+C:3x2−2=(3 x)2−(2)2.3x^2-2=(\sqrt3\,x)^2-(\sqrt2)^2.Положим u=3 xu=\sqrt3\,x, тогда dx=du3dx=\frac{du}{\sqrt3}. Получаем∫dx3x2−2=\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{3x^2-2}}\mathrel{=}13∫duu2−2=\displaystyle \frac1{\sqrt3}\int\frac{du}{\sqrt{u^2-2}}\mathrel{=}13ln⁡∣u+u2−2∣+C=\displaystyle \frac1{\sqrt3}\ln\left|u+\sqrt{u^2-2}\right|+C\mathrel{=}13ln⁡∣3 x+3x2−2∣+C.\displaystyle \frac1{\sqrt3}\ln\left|\sqrt3\,x+\sqrt{3x^2-2}\right|+C.
Демидович № 1664 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика