Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1638

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\,dx

Ответ:

\ln|x|-\frac1{4x^4}+C.

Решение

При

x\ne0

выражение под корнем является полным квадратом:

x^4+x^{-4}+2=(x^2+x^{-2})^2.

Поскольку

x^2+x^{-2}>0

, квадратный корень равен

x^2+x^{-2}

. Полученную сумму интегрируем почленно:

\displaystyle \int\frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3}\,dx\mathrel{=}

Интеграл

\int\frac{dx}{x}

табличный.