Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1671

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int[\sh(2x+1)+\ch(2x-1)]\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\operatorname{ch}(2x+1) +\dfrac{1}{2}\operatorname{sh}(2x-1)+C

Решение

Коэффициент

2

при

x

во внутренних аргументах учитываем по правилу цепочки. Действительно,

\begin{aligned} \left(\operatorname{ch}(2x+1)\right)' &=2\operatorname{sh}(2x+1) \\ \left(\operatorname{sh}(2x-1)\right)' &=2\operatorname{ch}(2x-1)\end{aligned}

Поэтому по линейности интеграла

\begin{aligned} \int\bigl[\operatorname{sh}(2x+1) +\operatorname{ch}(2x-1)\bigr]\,dx &=\dfrac{1}{2}\operatorname{ch}(2x+1) +\dfrac{1}{2}\operatorname{sh}(2x-1)+C\end{aligned}