Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2

Демидович § 2. Интегрирование рациональных функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1866–1925

Задачи 1866–1925

60 из 60 с разбором

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1866

∫2x+3(x−2)(x+5) dx\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\,dx.

Задача 1867

∫x dx(x+1)(x+2)(x+3)\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}.

Задача 1868

∫x10 dxx2+x−2\displaystyle\int\frac{x^{10}\,dx}{x^2+x-2}.

Задача 1869

∫x3+1x3−5x2+6x dx\displaystyle\int\frac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x}\,dx.

Задача 1870

∫x4x4+5x2+4 dx\displaystyle\int\frac{x^4}{x^4+5x^2+4}\,dx.

Задача 1871

∫x dxx3−3x+2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^3-3x+2}.

Задача 1872

∫x2+1(x+1)2(x−1) dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx.

Задача 1873

∫(xx2−3x+2)2 dx\displaystyle\int\left(\frac{x}{x^2-3x+2}\right)^2\,dx.

Задача 1874

∫dx(x+1)(x+2)2(x+3)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}.

Задача 1875

∫dxx5+x4−2x3−2x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1}.

Задача 1876

∫x2+5x+4x4+5x2+4 dx\displaystyle\int\frac{x^2+5x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx.

Задача 1877

∫dx(x+1)(x2+1)\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}.

Задача 1878

∫dx(x2−4x+4)(x2−4x+5)\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2-4x+4)(x^2-4x+5)}.

Задача 1879

∫x dx(x−1)2(x2+2x+2)\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}.

Задача 1880

∫dxx(1+x)(1+x+x2)\displaystyle\int\frac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)}.

Задача 1881

∫dxx3+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^3+1}.

Задача 1882

∫x dxx3−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^3-1}.

Задача 1883

∫dxx4−1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4-1}.

Задача 1884

∫dxx4+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4+1}.

Задача 1885

∫dxx4+x2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4+x^2+1}.

Задача 1886

∫dxx6+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^6+1}.

Задача 1887

∫dx(1+x)(1+x2)(1+x3)\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x)(1+x^2)(1+x^3)}.

Задача 1888

∫dxx5−x4+x3−x2+x−1\displaystyle\int\frac{dx}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1}.

Задача 1889

∫x2 dxx4+3x3+92x2+3x+1\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{x^4+3x^3+\frac92x^2+3x+1}.

Задача 1890

При каком условии интеграл∫ax2+bx+cx3(x−1)2 dx\int\frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}\,dxпредставляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

Задача 1891

∫x dx(x−1)2(x+1)3\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2(x+1)^3}.

Задача 1892

∫dx(x3+1)2\displaystyle\int\frac{dx}{(x^3+1)^2}.

Задача 1893

∫dx(x2+1)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)^3}.

Задача 1894

∫x2 dx(x2+2x+2)2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(x^2+2x+2)^2}.

Задача 1895

∫dx(x4+1)2\displaystyle\int\frac{dx}{(x^4+1)^2}.

Задача 1896

∫x2+3x−2(x−1)(x2+x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{x^2+3x-2}{(x-1)(x^2+x+1)^2}\,dx.

Задача 1897

∫dx(x4−1)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x^4-1)^3}.
Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:

Задача 1898

∫x2+1(x4+x2+1)2 dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x^4+x^2+1)^2}\,dx.

Задача 1899

∫dx(x3+x+1)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x^3+x+1)^3}.

Задача 1900

∫4x5−1(x5+x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}\,dx.

Задача 1901

Найти интеграл∫dxx4+2x3+3x2+2x+1.\int\frac{dx}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}.

Задача 1902

При каком условии интеграл∫αx2+2βx+γ(ax2+2bx+c)2 dx\int\frac{\alpha x^2+2\beta x+\gamma}{(ax^2+2bx+c)^2}\,dxпредставляет собой рациональную функцию?
Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1903

∫x3(x−1)100 dx\displaystyle\int\frac{x^3}{(x-1)^{100}}\,dx.

Задача 1904

∫x dxx8−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^8-1}.

Задача 1905

∫x3 dxx8+3\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^8+3}.

Задача 1906

∫x2+xx6+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+x}{x^6+1}\,dx.

Задача 1907

∫x4−3x(x8+3x4+2) dx\displaystyle\int\frac{x^4-3}{x(x^8+3x^4+2)}\,dx.

Задача 1908

∫x4 dx(x10−10)2\displaystyle\int\frac{x^4\,dx}{(x^{10}-10)^2}.

Задача 1909

∫x11 dxx8+3x4+2\displaystyle\int\frac{x^{11}\,dx}{x^8+3x^4+2}.

Задача 1910

∫x9 dx(x10−2x5+2)2\displaystyle\int\frac{x^9\,dx}{(x^{10}-2x^5+2)^2}.

Задача 1911

∫x2n−1xn+1 dx\displaystyle\int\frac{x^{2n-1}}{x^n+1}\,dx.

Задача 1912

∫x3n−1(x2n+1)2 dx\displaystyle\int\frac{x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^2}\,dx.

Задача 1913

∫dxx(x10+2)\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^{10}+2)}.

Задача 1914

∫dxx(x10+1)2\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^{10}+1)^2}.

Задача 1915

∫1−x7x(1+x7) dx\displaystyle\int\frac{1-x^7}{x(1+x^7)}\,dx.

Задачи 1–50 из 60