Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1644

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1644

∫(2x+3x)2 dx\displaystyle\int(2^x+3^x)^2\,dx.
Ответ:4xln⁡4+2⋅6xln⁡6+9xln⁡9+C.\frac{4^x}{\ln4}+\frac{2\cdot6^x}{\ln6}+\frac{9^x}{\ln9}+C.

Решение

Раскроем квадрат суммы. Полученную сумму интегрируем почленно:∫(2x+3x)2 dx=\displaystyle \int(2^x+3^x)^2\,dx\mathrel{=}∫4xdx+2∫6xdx+∫9xdx=\displaystyle \int4^x dx+2\int6^x dx+\int9^x dx\mathrel{=}4xln⁡4+2⋅6xln⁡6+9xln⁡9+C.\displaystyle \frac{4^x}{\ln4}+\frac{2\cdot6^x}{\ln6}+\frac{9^x}{\ln9}+C.Здесь использована табличная формула ∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C.
Демидович № 1644 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика