Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1639

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1639

∫x2 dx1+x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{1+x^2}.
Ответ:x−arctg⁡x+C.x-\operatorname{arctg}x+C.

Решение

Чтобы получить табличный интеграл ∫dx1+x2\int\frac{dx}{1+x^2}, добавим и вычтем 11 в числителе. Полученную разность интегрируем почленно:∫x21+x2 dx=\displaystyle \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx\mathrel{=}∫x2+1−11+x2 dx=\displaystyle \int\frac{x^2+1-1}{1+x^2}\,dx\mathrel{=}∫(x2+11+x2−11+x2)dx=\displaystyle \int\left(\frac{x^2+1}{1+x^2}-\frac1{1+x^2}\right)dx\mathrel{=}∫dx−∫dx1+x2=\displaystyle \int dx-\int\frac{dx}{1+x^2}\mathrel{=}x−arctg⁡x+C.\displaystyle x-\operatorname{arctg}x+C.Здесь ∫dx1+x2=arctg⁡x+C\int\frac{dx}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x+C -- табличный интеграл.
Демидович № 1639 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика