Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1667

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}

Ответ:

-\frac12\operatorname{ctg}\left(2x+\frac\pi4\right)+C.

Решение

Подынтегральная функция имеет вид табличного интеграла

\int\frac{du}{\sin^2u}=-\operatorname{ctg}u+C

, но аргумент синуса равен

2x+\frac\pi4

. Положим

u=2x+\frac\pi4,\quad dx=\frac12du.

Тогда

\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}\mathrel{=}