Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1640

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1640

∫x2 dx1−x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{1-x^2}.
Ответ:−x+12ln⁡∣1+x1−x∣+C.-x+\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.

Решение

Чтобы получить табличный интеграл ∫dx1−x2\int\frac{dx}{1-x^2}, добавим и вычтем 11 в числителе. Полученную сумму интегрируем почленно:∫x21−x2 dx=\displaystyle \int\frac{x^2}{1-x^2}\,dx\mathrel{=}∫x2−1+11−x2 dx=\displaystyle \int\frac{x^2-1+1}{1-x^2}\,dx\mathrel{=}−∫dx+∫dx1−x2=\displaystyle -\int dx+\int\frac{dx}{1-x^2}\mathrel{=}−x+12ln⁡∣1+x1−x∣+C.\displaystyle -x+\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.Интеграл∫dx1−x2=12ln⁡∣1+x1−x∣+C\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+Cтабличный.
Демидович № 1640 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика