Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6

Демидович § 6. Примеры на интегрирование функций

Условия, ответы и подробные решения задач 2126–2180

Задачи 2126–2180

54 из 54 с разбором

Найти интегралы:

Задача 2126

∫dxx6(1+x2)\displaystyle\int\frac{dx}{x^6(1+x^2)}.

Задача 2127

∫x2 dx(1−x2)3\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(1-x^2)^3}.

Задача 2128

∫dx1+x4+x8\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^4+x^8}.

Задача 2129

∫dxx+x3\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}.

Задача 2130

∫x2x1−x dx\displaystyle\int x^2\sqrt{\frac x{1-x}}\,dx.

Задача 2131

∫x+2x21−x2 dx\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Задача 2132

∫x1−xx dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{x}{1-x\sqrt x}}\,dx.

Задача 2134

∫dxx2(1−x)3\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2(1-x)}}.

Задача 2135

∫dxx1+x3+x6\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^3+x^6}}.

Задача 2136

∫dxxx4−2x2−1\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^4-2x^2-1}}.

Задача 2137

∫1+1−x21−1−x2 dx\displaystyle\int\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Задача 2138

∫(1+x) dxx+x+x2\displaystyle\int\frac{(1+x)\,dx}{x+\sqrt{x+x^2}}.

Задача 2139

∫ln⁡(1+x+x2)(1+x)2 dx\displaystyle\int\frac{\ln(1+x+x^2)}{(1+x)^2}\,dx.

Задача 2140

∫(2x+3)arccos⁡(2x−3) dx\displaystyle\int(2x+3)\arccos(2x-3)\,dx.

Задача 2141

∫xln⁡(4+x4) dx\displaystyle\int x\ln(4+x^4)\,dx.

Задача 2142

∫arcsin⁡xx2⋅1+x21−x2 dx\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{x^2}\cdot\frac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Задача 2143

∫xln⁡(1+1+x2)1+x2 dx\displaystyle\int\frac{x\ln\bigl(1+\sqrt{1+x^2}\bigr)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Задача 2144

∫xx2+1ln⁡x2−1 dx\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\ln\sqrt{x^2-1}\,dx.

Задача 2145

∫x1−x2ln⁡x1−x dx\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ln\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx.

Задача 2146

∫dx(2+sin⁡x)2\displaystyle\int\frac{dx}{(2+\sin x)^2}.

Задача 2147

∫sin⁡4xsin⁡8x+cos⁡8x dx\displaystyle\int\frac{\sin4x}{\sin^8x+\cos^8x}\,dx.

Задача 2148

∫dxsin⁡x1+cos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x\sqrt{1+\cos x}}.

Задача 2149

∫ax2+bx2+1arctg⁡x dx\displaystyle\int\frac{ax^2+b}{x^2+1}\arctg x\,dx.

Задача 2150

∫ax2+bx2−1ln⁡∣x−1x+1∣ dx\displaystyle\int\frac{ax^2+b}{x^2-1}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\,dx.

Задача 2151

∫xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.

Задача 2152

∫xarctg⁡x1+x2 dx\displaystyle\int\frac{x\arctg x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Задача 2153

∫sin⁡2x1+cos⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sin2x}{\sqrt{1+\cos^4x}}\,dx.

Задача 2154

∫x3arccos⁡x1−x2 dx\displaystyle\int\frac{x^3\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Задача 2155

∫x4arctg⁡x1+x2 dx\displaystyle\int\frac{x^4\arctg x}{1+x^2}\,dx.

Задача 2156

∫xarctg⁡x(1−x2)2 dx\displaystyle\int\frac{x\arctg x}{(1-x^2)^2}\,dx.

Задача 2157

∫xln⁡(x+1+x2)(1−x2)2 dx\displaystyle\int\frac{x\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)}{(1-x^2)^2}\,dx.

Задача 2158

∫1−x2arcsin⁡x dx\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\arcsin x\,dx.

Задача 2159

∫x(1+x2)arcctg⁡x dx\displaystyle\int x(1+x^2)\arcctg x\,dx.

Задача 2160

∫xx(1+ln⁡x) dx\displaystyle\int x^x(1+\ln x)\,dx.

Задача 2161

∫arcsin⁡exex dx\displaystyle\int\frac{\arcsin e^x}{e^x}\,dx.

Задача 2162

∫arctg⁡ex/2ex/2(1+ex) dx\displaystyle\int\frac{\arctg e^{x/2}}{e^{x/2}(1+e^x)}\,dx.

Задача 2163

∫dx(ex+1+1)2−(ex−1+1)2\displaystyle\int\frac{dx}{(e^{x+1}+1)^2-(e^{x-1}+1)^2}.

Задача 2164

∫tanh⁡2x+1 dx\displaystyle\int\sqrt{\tanh^2x+1}\,dx.

Задача 2165

∫1+sin⁡x1+cos⁡xex dx\displaystyle\int\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^x\,dx.

Задача 2166

∫∣x∣ dx\displaystyle\int|x|\,dx.

Задача 2167

∫x∣x∣ dx\displaystyle\int x|x|\,dx.

Задача 2168

∫(x+∣x∣)2 dx\displaystyle\int(x+|x|)^2\,dx.

Задача 2169

∫∣∣1+x∣−∣1−x∣∣ dx\displaystyle\int\bigl||1+x|-|1-x|\bigr|\,dx.

Задача 2170

∫e−∣x∣ dx\displaystyle\int e^{-|x|}\,dx.

Задача 2171

∫max⁡(1,x2) dx\displaystyle\int\max(1,x^2)\,dx.

Задача 2172

∫φ(x) dx\displaystyle\int\varphi(x)\,dx, где φ(x)\varphi(x) --- расстояние числа xx до ближайшего целого числа.

Задача 2173

∫[x]∣sin⁡πx∣ dx\displaystyle\int[x]|\sin\pi x|\,dx (x≥0)(x\ge0).

Задача 2174

∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx, гдеf(x)={1−x2при ∣x∣≤1;1−∣x∣при ∣x∣>1.f(x)=\begin{cases}1-x^2&\text{при }|x|\le1;\\1-|x|&\text{при }|x|>1.\end{cases}

Задача 2175

∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx, гдеf(x)={1,если −∞<x<0;x+1,если 0≤x≤1;2x,если 1<x<+∞.f(x)=\begin{cases}
1,&\text{если }-\infty<x<0;\\
x+1,&\text{если }0\le x\le1;\\
2x,&\text{если }1<x<+\infty.
\end{cases}

Задача 2176

Найти ∫xf′′(x) dx\displaystyle\int xf''(x)\,dx.

Задачи 1–50 из 54