Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1663

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1663

∫dx2−3x2\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}}.
Ответ:13arcsin⁡(x32)+C.\frac1{\sqrt3}\arcsin\left(x\sqrt{\frac32}\right)+C.

Решение

Вынесем 22 из-под корня так, чтобы получить табличный интеграл:∫dx2−3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}}\mathrel{=}12∫dx1−32x2=\displaystyle \frac1{\sqrt2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\frac32x^2}}\mathrel{=}12∫dx1−(x32)2.\displaystyle \frac1{\sqrt2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\left(x\sqrt{\frac32}\right)^2}}.Положим u=x32u=x\sqrt{\frac32}, тогда dx=23 dudx=\sqrt{\frac23}\,du. Получаем∫dx2−3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}}\mathrel{=}13∫du1−u2=\displaystyle \frac1{\sqrt3}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\mathrel{=}13arcsin⁡u+C=\displaystyle \frac1{\sqrt3}\arcsin u+C\mathrel{=}13arcsin⁡(x32)+C.\displaystyle \frac1{\sqrt3}\arcsin\left(x\sqrt{\frac32}\right)+C.Интеграл ∫du1−u2=arcsin⁡u+C\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C табличный.
Демидович № 1663 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика