Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1641

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1641

∫x2+3x2−1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+3}{x^2-1}\,dx.
Ответ:x+2ln⁡∣x−1x+1∣+C.x+2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.

Решение

В числителе выделим выражение x2−1x^2-1, а затем приведём оставшуюся дробь к табличному виду. Полученную разность интегрируем почленно:∫x2+3x2−1 dx=\displaystyle \int\frac{x^2+3}{x^2-1}\,dx\mathrel{=}∫x2−1+4x2−1 dx=\displaystyle \int\frac{x^2-1+4}{x^2-1}\,dx\mathrel{=}∫(1+4x2−1)dx=\displaystyle \int\left(1+\frac4{x^2-1}\right)dx\mathrel{=}∫dx−4∫dx1−x2=\displaystyle \int dx-4\int\frac{dx}{1-x^2}\mathrel{=}x−2ln⁡∣1+x1−x∣+C=\displaystyle x-2\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C\mathrel{=}x+2ln⁡∣x−1x+1∣+C.\displaystyle x+2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.Здесь ∫dx1−x2=12ln⁡∣1+x1−x∣+C\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C -- табличный интеграл.
Демидович № 1641 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика