Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1630

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1630

∫(1−x)(1−2x)(1−3x) dx\displaystyle\int(1-x)(1-2x)(1-3x)\,dx.
Ответ:x−3x2+113x3−32x4+C.x-3x^2+\frac{11}{3}x^3-\frac32x^4+C.

Решение

После раскрытия скобок получаем многочлен, который интегрируется почленно:∫(1−x)(1−2x)(1−3x) dx=\displaystyle \int(1-x)(1-2x)(1-3x)\,dx\mathrel{=}∫(1−6x+11x2−6x3)dx=\displaystyle \int\left(1-6x+11x^2-6x^3\right)dx\mathrel{=}x−3x2+113x3−32x4+C.\displaystyle x-3x^2+\frac{11}{3}x^3-\frac32x^4+C.