Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1668

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1668

∫dx1+cos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos x}.
Ответ:tg⁡x2+C,x≠(2k+1)π,k∈Z\tg\dfrac{x}{2}+C,
\qquad
x\ne(2k+1)\pi,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Используем формулу половинного угла1+cos⁡x=2cos⁡2x21+\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}Тогда∫dx1+cos⁡x=12∫dxcos⁡2x2=tg⁡x2+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{1+\cos x}
&=\dfrac{1}{2}\int
\dfrac{dx}{\cos^2\dfrac{x}{2}}
=\tg\dfrac{x}{2}+C
\end{aligned}Исходная подынтегральная функция не определена приx=(2k+1)π,k∈Zx=(2k+1)\pi,
\qquad
k\in\mathbb ZСледовательно, связные промежутки области определения имеют вид((2k−1)π,(2k+1)π),k∈Z\bigl((2k-1)\pi,(2k+1)\pi\bigr),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.