Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1637

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1637

∫(2x−3x3)2x dx\displaystyle\int\frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x}\,dx.
Ответ:2x−125233 x5/6+3293 x2/3+C.2x-\frac{12}{5}\sqrt2\sqrt[3]{3}\,x^{5/6}+\frac32\sqrt[3]{9}\,x^{2/3}+C.

Решение

При x>0x>0 раскроем квадрат в числителе, разделим каждое слагаемое на xx и приведём степени. Полученную сумму интегрируем почленно:∫(2x−3x3)2x dx=\displaystyle \int\frac{(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^2}{x}\,dx\mathrel{=}∫2x−22x3x3+9x23x dx=\displaystyle \int\frac{2x-2\sqrt{2x}\sqrt[3]{3x}+\sqrt[3]{9x^2}}{x}\,dx\mathrel{=}∫(2−2233 x−1/6+93 x−1/3)dx=\displaystyle \int\left(2-2\sqrt2\sqrt[3]{3}\,x^{-1/6}+\sqrt[3]{9}\,x^{-1/3}\right)dx\mathrel{=}2∫dx−2233∫x−1/6dx+93∫x−1/3dx=\displaystyle 2\int dx-2\sqrt2\sqrt[3]{3}\int x^{-1/6}dx+\sqrt[3]{9}\int x^{-1/3}dx\mathrel{=}2x−125233 x5/6+3293 x2/3+C.\displaystyle 2x-\frac{12}{5}\sqrt2\sqrt[3]{3}\,x^{5/6}+\frac32\sqrt[3]{9}\,x^{2/3}+C.
Демидович № 1637 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика