Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1661

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1661

∫dx2+3x2\displaystyle\int\frac{dx}{2+3x^2}.
Ответ:16arctg⁡(x32)+C.\frac1{\sqrt6}\operatorname{arctg}\left(x\sqrt{\frac32}\right)+C.

Решение

Приведём знаменатель к табличному виду 1+u21+u^2:∫dx2+3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{2+3x^2}\mathrel{=}12∫dx1+32x2=\displaystyle \frac12\int\frac{dx}{1+\frac32x^2}\mathrel{=}12∫dx1+(x32)2.\displaystyle \frac12\int\frac{dx}{1+\left(x\sqrt{\frac32}\right)^2}.Положим u=x32u=x\sqrt{\frac32}, тогда dx=23 dudx=\sqrt{\frac23}\,du. Получаем∫dx2+3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{2+3x^2}\mathrel{=}16∫du1+u2=\displaystyle \frac1{\sqrt6}\int\frac{du}{1+u^2}\mathrel{=}16arctg⁡u+C=\displaystyle \frac1{\sqrt6}\operatorname{arctg}u+C\mathrel{=}16arctg⁡(x32)+C.\displaystyle \frac1{\sqrt6}\operatorname{arctg}\left(x\sqrt{\frac32}\right)+C.Интеграл ∫du1+u2=arctg⁡u+C\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C табличный.
Демидович № 1661 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика