Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5

Демидович § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Условия, ответы и подробные решения задач 2066–2125

Задачи 2066–2125

60 из 60 с разбором

Задача 2066

Доказать, что если P(x)P(x) --- многочлен степени nn, то∫P(x)eax dx=eax[P(x)a−P′(x)a2+⋯+(−1)nP(n)(x)an+1]+C.\int P(x)e^{ax}\,dx=e^{ax}\left[\frac{P(x)}a-\frac{P'(x)}{a^2}+\dots+(-1)^n\frac{P^{(n)}(x)}{a^{n+1}}\right]+C.

Задача 2067

Доказать, что если P(x)P(x) --- многочлен степени nn, то∫P(x)cos⁡ax dx=sin⁡axa[P(x)−P′′(x)a2+PIV(x)a4−… ]+cos⁡axa2[P′(x)−P′′′(x)a2+PV(x)a4−… ]+C\begin{aligned}
\int P(x)\cos ax\,dx
&=\frac{\sin ax}{a}\left[P(x)-\frac{P''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm{IV}}(x)}{a^4}-\dots\right]\\
&\quad+\frac{\cos ax}{a^2}\left[P'(x)-\frac{P'''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm V}(x)}{a^4}-\dots\right]+C
\end{aligned}и∫P(x)sin⁡ax dx=−cos⁡axa[P(x)−P′′(x)a2+PIV(x)a4−… ]+sin⁡axa2[P′(x)−P′′′(x)a2+PV(x)a4−… ]+C.\begin{aligned}
\int P(x)\sin ax\,dx
&=-\frac{\cos ax}{a}\left[P(x)-\frac{P''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm{IV}}(x)}{a^4}-\dots\right]\\
&\quad+\frac{\sin ax}{a^2}\left[P'(x)-\frac{P'''(x)}{a^2}+\frac{P^{\mathrm V}(x)}{a^4}-\dots\right]+C.
\end{aligned}
Найти интегралы:

Задача 2068

∫x3e3x dx\displaystyle\int x^3e^{3x}\,dx.

Задача 2069

∫(x2−2x+2)e−x dx\displaystyle\int(x^2-2x+2)e^{-x}\,dx.

Задача 2070

∫x5sin⁡5x dx\displaystyle\int x^5\sin5x\,dx.

Задача 2071

∫(1+x2)2cos⁡x dx\displaystyle\int(1+x^2)^2\cos x\,dx.

Задача 2072

∫x7e−x2 dx\displaystyle\int x^7e^{-x^2}\,dx.

Задача 2073

∫x2ex dx\displaystyle\int x^2e^{\sqrt x}\,dx.

Задача 2074

∫eaxcos⁡2bx dx\displaystyle\int e^{ax}\cos^2bx\,dx.

Задача 2075

∫eaxsin⁡3bx dx\displaystyle\int e^{ax}\sin^3bx\,dx.

Задача 2076

∫xexsin⁡x dx\displaystyle\int xe^x\sin x\,dx.

Задача 2077

∫x2excos⁡x dx\displaystyle\int x^2e^x\cos x\,dx.

Задача 2078

∫xexsin⁡2x dx\displaystyle\int xe^x\sin^2x\,dx.

Задача 2079

∫(x−sin⁡x)3 dx\displaystyle\int(x-\sin x)^3\,dx.

Задача 2080

∫cos⁡2x dx\displaystyle\int\cos^2\sqrt x\,dx.

Задача 2081

Доказать, что если RR --- рациональная функция и числа a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n соизмеримы, то интеграл∫R(ea1x,ea2x,…,eanx) dx\int R(e^{a_1x},e^{a_2x},\dots,e^{a_nx})\,dxвыражается в виде элементарной функции.

Задача 2082

∫dx(1+ex)2\displaystyle\int\frac{dx}{(1+e^x)^2}.

Задача 2083

∫e2x1+ex dx\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{1+e^x}\,dx.

Задача 2084

∫dxe2x+ex−2\displaystyle\int\frac{dx}{e^{2x}+e^x-2}.

Задача 2085

∫dx1+ex/2+ex/3+ex/6\displaystyle\int\frac{dx}{1+e^{x/2}+e^{x/3}+e^{x/6}}.

Задача 2086

∫1+ex/2(1+ex/4)2 dx\displaystyle\int\frac{1+e^{x/2}}{(1+e^{x/4})^2}\,dx.

Задача 2087

∫dxex−1\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}.

Задача 2088

∫ex−1ex+1 dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}}\,dx.

Задача 2089

∫e2x+4ex−1 dx\displaystyle\int\sqrt{e^{2x}+4e^x-1}\,dx.

Задача 2090

∫dx1+ex+1−ex\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}+\sqrt{1-e^x}}.

Задача 2091

Доказать, что интеграл∫R(x)eax dx,\int R(x)e^{ax}\,dx,где RR --- рациональная функция, знаменатель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и трансцендентную функцию∫eaxx dx=li⁡(eax)+C,\int\frac{e^{ax}}x\,dx=\operatorname{li}(e^{ax})+C,гдеli⁡x=∫dxln⁡x.\operatorname{li}x=\int\frac{dx}{\ln x}.

Задача 2092

В каком случае интеграл∫P(1x)ex dx,\int P\left(\frac1x\right)e^x\,dx,где P(1x)=a0+a1x+⋯+anxn\displaystyle P\left(\frac1x\right)=a_0+\frac{a_1}x+\dots+\frac{a_n}{x^n} и a0,a1,…,ana_0,a_1,\dots,a_n постоянны, представляет собой элементарную функцию?

Задача 2093

∫(1−2x)2ex dx\displaystyle\int\left(1-\frac2x\right)^2e^x\,dx.

Задача 2094

∫(1−1x)e−x dx\displaystyle\int\left(1-\frac1x\right)e^{-x}\,dx.

Задача 2095

∫e2xx2−3x+2 dx\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{x^2-3x+2}\,dx.

Задача 2096

∫xex(x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx.

Задача 2097

∫x4e2x(x−2)2 dx\displaystyle\int\frac{x^4e^{2x}}{(x-2)^2}\,dx.
Найти интегралы, содержащие функции ln⁡f(x)\ln f(x), arctg⁡f(x)\arctg f(x), arcsin⁡f(x)\arcsin f(x), arccos⁡f(x)\arccos f(x), где f(x)f(x) --- алгебраическая функция:

Задача 2098

∫ln⁡nx dx\displaystyle\int\ln^nx\,dx (nn --- натуральное число).

Задача 2099

∫x3ln⁡3x dx\displaystyle\int x^3\ln^3x\,dx.

Задача 2100

∫(ln⁡xx)3 dx\displaystyle\int\left(\frac{\ln x}x\right)^3\,dx.

Задача 2101

∫ln⁡[(x+a)x+a(x+b)x+b]dx(x+a)(x+b)\displaystyle\int\ln\bigl[(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}\bigr]\frac{dx}{(x+a)(x+b)}.

Задача 2102

∫ln⁡2(x+1+x2) dx\displaystyle\int\ln^2\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx.

Задача 2103

∫ln⁡(1−x+1+x) dx\displaystyle\int\ln\bigl(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\bigr)\,dx.

Задача 2104

∫ln⁡x(1+x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{\ln x}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 2105

∫xarctg⁡(x+1) dx\displaystyle\int x\arctg(x+1)\,dx.

Задача 2106

∫xarctg⁡x dx\displaystyle\int\sqrt x\arctg\sqrt x\,dx.

Задача 2107

∫xarcsin⁡(1−x) dx\displaystyle\int x\arcsin(1-x)\,dx.

Задача 2108

∫arcsin⁡x dx\displaystyle\int\arcsin\sqrt x\,dx.

Задача 2109

∫xarccos⁡1x dx\displaystyle\int x\arccos\frac1x\,dx.

Задача 2110

∫arcsin⁡2x1+x dx\displaystyle\int\arcsin\frac{2\sqrt x}{1+x}\,dx.

Задача 2111

∫arccos⁡x(1−x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{\arccos x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 2112

∫xarccos⁡x(1−x2)3/2 dx\displaystyle\int\frac{x\arccos x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx.

Задача 2113

∫xarctg⁡xln⁡(1+x2) dx\displaystyle\int x\arctg x\ln(1+x^2)\,dx.

Задача 2114

∫xln⁡1+x1−x dx\displaystyle\int x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx.

Задача 2115

∫ln⁡(x+1+x2) dx(1+x2)3/2\displaystyle\int\frac{\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx}{(1+x^2)^{3/2}}.

Задачи 1–50 из 60