Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1631

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1631

∫(1−xx)2 dx\displaystyle\int\left(\frac{1-x}{x}\right)^2\,dx.
Ответ:−1x−2ln⁡∣x∣+x+C.-\frac1x-2\ln|x|+x+C.

Решение

При x≠0x\ne0 сначала преобразуем дробь под знаком интеграла. После раскрытия квадрата интегрируем сумму почленно:∫(1−xx)2dx=\displaystyle \int\left(\frac{1-x}{x}\right)^2dx\mathrel{=}∫(1x−1)2dx=\displaystyle \int\left(\frac1x-1\right)^2dx\mathrel{=}∫(x−2−2x+1)dx=\displaystyle \int\left(x^{-2}-\frac2x+1\right)dx\mathrel{=}∫x−2dx−2∫dxx+∫dx=\displaystyle \int x^{-2}dx-2\int\frac{dx}{x}+\int dx\mathrel{=}−1x−2ln⁡∣x∣+x+C.\displaystyle -\frac1x-2\ln|x|+x+C.Здесь ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C --- табличный интеграл.
Демидович № 1631 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика