Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1670

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1670

∫dx1+sin⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sin x}.
Ответ:−cos⁡x1+sin⁡x+C,x≠−π2+2πk,k∈Z-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+C,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

При стандартном рационализирующем преобразовании получилось бы11+sin⁡x=1−sin⁡xcos⁡2x\dfrac{1}{1+\sin x}
=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2x}Однако правая часть требует временного ограничения cos⁡x≠0\cos x\ne0, тогда как исходная функция определена в точках, где cos⁡x=0\cos x=0 и sin⁡x=1\sin x=1. Поэтому, чтобы не потерять эти точки, проверим первообразную непосредственно дифференцированием. Рассмотрим функциюF(x)=−cos⁡x1+sin⁡xF(x)=-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}Вычислим её производную:F′(x)=sin⁡x(1+sin⁡x)+cos⁡2x(1+sin⁡x)2=sin⁡x+sin⁡2x+cos⁡2x(1+sin⁡x)2==1+sin⁡x(1+sin⁡x)2=11+sin⁡x\begin{aligned}
F'(x)
&=\dfrac{\sin x(1+\sin x)+\cos^2x}
{(1+\sin x)^2}
=\dfrac{\sin x+\sin^2x+\cos^2x}
{(1+\sin x)^2}=\\
&=\dfrac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2}
=\dfrac{1}{1+\sin x}
\end{aligned}Следовательно,∫dx1+sin⁡x=−cos⁡x1+sin⁡x+C\int\dfrac{dx}{1+\sin x}
=-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+CЗнаменатель обращается в нуль приx=−π2+2πk,k∈Zx=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
\qquad
k\in\mathbb ZСвязными промежутками области определения являются(−π2+2πk,−π2+2π(k+1)),k∈Z\left(
-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
-\dfrac{\pi}{2}+2\pi(k+1)
\right),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1670 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика