Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1662

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1662

∫dx2−3x2\displaystyle\int\frac{dx}{2-3x^2}.
Ответ:126ln⁡∣2+3 x2−3 x∣+C.\frac1{2\sqrt6}\ln\left|\frac{\sqrt2+\sqrt3\,x}{\sqrt2-\sqrt3\,x}\right|+C.

Решение

Приведём знаменатель к табличному виду 1−u21-u^2:∫dx2−3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{2-3x^2}\mathrel{=}12∫dx1−32x2=\displaystyle \frac12\int\frac{dx}{1-\frac32x^2}\mathrel{=}12∫dx1−(x32)2.\displaystyle \frac12\int\frac{dx}{1-\left(x\sqrt{\frac32}\right)^2}.Положим u=x32u=x\sqrt{\frac32}, тогда dx=23 dudx=\sqrt{\frac23}\,du. Получаем∫dx2−3x2=\displaystyle \int\frac{dx}{2-3x^2}\mathrel{=}16∫du1−u2=\displaystyle \frac1{\sqrt6}\int\frac{du}{1-u^2}\mathrel{=}126ln⁡∣1+u1−u∣+C=\displaystyle \frac1{2\sqrt6}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C\mathrel{=}126ln⁡∣2+3 x2−3 x∣+C.\displaystyle \frac1{2\sqrt6}\ln\left|\frac{\sqrt2+\sqrt3\,x}{\sqrt2-\sqrt3\,x}\right|+C.Интеграл ∫du1−u2=12ln⁡∣1+u1−u∣+C\int\frac{du}{1-u^2}=\frac12\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C табличный.
Демидович № 1662 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика