Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1646

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}\,dx

Ответ:

\frac12e^{2x}-e^x+x+C.

Решение

Числитель раскладывается как сумма кубов:

e^{3x}+1=(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1).

Так как

e^x+1>0

, дробь сокращается:

\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}=e^{2x}-e^x+1.

Интеграл

\int e^x\,dx=e^x+C

табличный. Для первого слагаемого учитываем, что

(e^{2x})'=2e^{2x}

\int e^{2x}\,dx=\frac12\int e^{2x}\,d(2x)=\frac12e^{2x}+C.

Теперь интегрируем сумму почленно:

\displaystyle \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}\,dx\mathrel{=}