Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1677

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1677

∫x dx(1+x2)2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1+x^2)^2}.
Ответ:−12(1+x2)+C-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C

Решение

Имеем(11+x2)′=−2x(1+x2)2\left(\dfrac{1}{1+x^2}\right)'
=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}Следовательно,∫x dx(1+x2)2=−12(1+x2)+C\int\dfrac{x\,dx}{(1+x^2)^2}
=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C