Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1674

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1674

∫x dx1−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}.
Ответ:−1−x2+C,−1<x<1-\sqrt{1-x^2}+C,
\qquad -1<x<1

Решение

Для вещественного интеграла необходимо 1−x2>01-x^2>0, поэтому −1<x<1-1<x<1. Производная функции 1−x2\sqrt{1-x^2} равна(1−x2)′=−x1−x2\left(\sqrt{1-x^2}\right)'
=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}Следовательно,∫x dx1−x2=−1−x2+C\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}
=-\sqrt{1-x^2}+C