Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1675

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1675

∫x21+x33 dx\displaystyle\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx.
Ответ:14(1+x3)43+C\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{(1+x^3)^4}+C

Решение

При x≠−1x\ne-1 непосредственным дифференцированием получаем(14(1+x3)43)′=x21+x33\left(\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{(1+x^3)^4}\right)'
=x^2\sqrt[3]{1+x^3}Поэтому∫x21+x33 dx=14(1+x3)43+C\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx
=\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{(1+x^3)^4}+CОстаётся проверить точку x=−1x=-1, в которой выражение 1+x31+x^3 обращается в нуль. Обозначим найденную функцию без постоянной черезF(x)=14(1+x3)43F(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{(1+x^3)^4}Так как 1+x3=(x+1)(x2−x+1)1+x^3=(x+1)(x^2-x+1), имеем F(−1)=0F(-1)=0 и∣F(x)−F(−1)x+1∣=14∣x2−x+1∣43∣x+1∣13⟶0\left|
\dfrac{F(x)-F(-1)}{x+1}
\right|
=\dfrac{1}{4}
|x^2-x+1|^{\frac{4}{3}}
|x+1|^{\frac{1}{3}}
\longrightarrow0Следовательно, F′(−1)=0F'(-1)=0, что совпадает со значением подынтегральной функции при x=−1x=-1. Значит, полученная формула задаёт первообразную на всей числовой прямой.