Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1653

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\cth^2x\,dx

Ответ:

x-\operatorname{cth}x+C.

Решение

После деления тождества

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1

на

\operatorname{sh}^2x

получаем

\operatorname{cth}^2x=1+\frac1{\operatorname{sh}^2x}

. Полученную сумму интегрируем почленно:

\displaystyle \int\operatorname{cth}^2x\,dx\mathrel{=}

Интеграл

\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^2x}=-\operatorname{cth}x+C

табличный.