Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1652

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\tanh^2x\,dx

Ответ:

x-\operatorname{th}x+C.

Решение

Из тождества

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1

после деления на

\operatorname{ch}^2x

получаем

\operatorname{th}^2x=1-\frac1{\operatorname{ch}^2x}

. Полученную разность интегрируем почленно:

\displaystyle \int\operatorname{th}^2x\,dx\mathrel{=}

Интеграл

\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^2x}=\operatorname{th}x+C

табличный.