Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3

Демидович § 3. Интегрирование иррациональных функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1926–1990

Задачи 1926–1990

65 из 65 с разбором

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

Задача 1926

∫dx1+x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt x}.

Задача 1927

∫dxx(1+2x+x3)\displaystyle\int\frac{dx}{x(1+2\sqrt x+\sqrt[3]x)}.

Задача 1928

∫x2+x3x+2+x3 dx\displaystyle\int\frac{x\sqrt[3]{2+x}}{x+\sqrt[3]{2+x}}\,dx.

Задача 1929

∫1−x+11+x+13 dx\displaystyle\int\frac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx.

Задача 1930

∫dx(1+x4)3x\displaystyle\int\frac{dx}{(1+\sqrt[4]x)^3\sqrt x}.

Задача 1931

∫x+1−x−1x+1+x−1 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\,dx.

Задача 1932

∫dx(x+1)2(x−1)43\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}.

Задача 1933

∫x dxx3(a−x)4\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}} (a>0)(a>0).

Задача 1934

∫dx(x−a)n+1(x−b)n−1n\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}} (nn --- натуральное число).

Задача 1935

∫dx1+x+1+x\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt x+\sqrt{1+x}}.

Задача 1936

Доказать, что интеграл∫R[x,(x−a)p/n(x−b)q/n] dx,\int R\bigl[x,(x-a)^{p/n}(x-b)^{q/n}\bigr]\,dx,где RR --- рациональная функция и pp, qq, nn --- целые числа, является элементарной функцией, еслиp+q=kn,p+q=kn,где kk --- целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

Задача 1937

∫x21+x+x2 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1+x+x^2}}\,dx.

Задача 1938

∫dx(x+1)x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.

Задача 1939

∫dx(1−x2)1−x2\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1940

∫x2+2x+2x dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}x\,dx.

Задача 1941

∫x dx(1+x)1−x−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}.

Задача 1942

∫1−x+x21+x−x2 dx\displaystyle\int\frac{1-x+x^2}{\sqrt{1+x-x^2}}\,dx.
Найдите интеграл.

Задача 1943

∫x31+2x−x2 dx\displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{1+2x-x^2}}\,dx.

Задача 1944

∫x10 dx1+x2\displaystyle\int\frac{x^{10}\,dx}{\sqrt{1+x^2}}.

Задача 1945

∫x4a2−x2 dx\displaystyle\int x^4\sqrt{a^2-x^2}\,dx.

Задача 1946

∫x3−6x2+11x−6x2+4x+3 dx\displaystyle\int\frac{x^3-6x^2+11x-6}{\sqrt{x^2+4x+3}}\,dx.

Задача 1947

∫dxx3x2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^3\sqrt{x^2+1}}.

Задача 1948

∫dxx4x2−1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2-1}}.

Задача 1949

∫dx(x−1)3x2+3x+1\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)^3\sqrt{x^2+3x+1}}.

Задача 1950

∫dx(x+1)5x2+2x\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)^5\sqrt{x^2+2x}}.

Задача 1951

При каком условии интеграл∫a1x2+b1x+c1ax2+bx+c dx\int\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dxпредставляет собой алгебраическую функцию?
Найти ∫P(x)Q(x)y dx\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx, где y=ax2+bx+cy=\sqrt{ax^2+bx+c}, разлагая рациональную функцию P(x)Q(x)\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} на простейшие дроби.

Задача 1952

∫x dx(x−1)21+2x−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2\sqrt{1+2x-x^2}}.

Задача 1953

∫x dx(x2−1)x2−x−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x^2-1)\sqrt{x^2-x-1}}.

Задача 1954

∫x2+x+1(x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{(x+1)^2}\,dx.

Задача 1955

∫x2(1+x)1+2x−x2 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{(1+x)\sqrt{1+2x-x^2}}\,dx.

Задача 1956

∫x dx(x2−3x+2)x2−4x+3\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x^2-3x+2)\sqrt{x^2-4x+3}}.

Задача 1957

∫dx(1+x2)1−x2\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1958

∫dx(x2+1)x2−1\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2-1}}.

Задача 1959

∫dx(1−x4)1+x2\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^4)\sqrt{1+x^2}}.

Задача 1960

∫x2+2x2+1 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}\,dx.
Приводя квадратичные трёхчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:

Задача 1961

∫dx(x2+x+1)x2+x−1\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x-1}}.

Задача 1962

∫x2 dx(4−2x+x2)2+2x−x2\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(4-2x+x^2)\sqrt{2+2x-x^2}}.

Задача 1963

∫(x+1) dx(x2+x+1)x2+x+1\displaystyle\int\frac{(x+1)\,dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.

Задача 1964

С помощью дробно-линейной подстановки x=α+βt1+t\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta t}{1+t} вычислить интеграл∫dx(x2−x+1)x2+x+1.\int\frac{dx}{(x^2-x+1)\sqrt{x^2+x+1}}.

Задача 1965

Найти∫dx(x2+2)2x2−2x+5.\int\frac{dx}{(x^2+2)\sqrt{2x^2-2x+5}}.
Применяя подстановки Эйлера:

Задача 1966

∫dxx+x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}.

Задача 1967

∫dx1+1−2x−x2\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}.

Задача 1968

∫xx2−2x+2 dx\displaystyle\int x\sqrt{x^2-2x+2}\,dx.

Задача 1969

∫x−x2+3x+2x+x2+3x+2 dx\displaystyle\int\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}\,dx.

Задача 1970

∫dx[1+x(1+x)]2\displaystyle\int\frac{dx}{\bigl[1+\sqrt{x(1+x)}\bigr]^2}.
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1971

∫dxx2+1−x2−1\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}.

Задача 1972

∫x dx(1−x3)1−x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1973

∫dx2+1−x+1+x\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}.

Задача 1974

∫x+1+x+x21+x+1+x+x2 dx\displaystyle\int\frac{x+\sqrt{1+x+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x+x^2}}\,dx.

Задача 1975

∫x(x+1)x+x+1 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\,dx.

Задачи 1–50 из 65