Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1

Демидович § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Условия, ответы и подробные решения задач 1628–1865

Задачи 1628–1865

238 из 238 с разбором

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx

\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx

\displaystyle\int e^{2x}\sin^2x\,dx

\displaystyle\int(e^x-\cos x)^2\,dx

\displaystyle\int\frac{\arcctg e^x}{e^x}\,dx

\displaystyle\int\frac{\ln(\sin x)}{\sin^2x}\,dx

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\cos^2x}

\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\,dx

\displaystyle\int\frac{dx}{a+bx^2}

(ab\ne0)

\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-x+2}

\displaystyle\int\frac{dx}{3x^2-2x-1}

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^4-2x^2-1}

\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2+x+1}\,dx

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^2-2x\cos\alpha+1}

\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^4-x^2+2}

\displaystyle\int\frac{x^5\,dx}{x^6-x^3-2}

\displaystyle\int\frac{dx}{3\sin^2x-8\sin x\cos x+5\cos^2x}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a+bx^2}}

(b\ne0)

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2x^2-x+2}}

Доказать, что если

y=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0),

то

\int\frac{dx}{\sqrt y}=\frac1{\sqrt a}\ln\left|\frac{y'}2+\sqrt{ay}\right|+C\quad\text{при }a>0

\int\frac{dx}{\sqrt y}=\frac1{\sqrt{-a}}\arcsin\frac{-y'}{\sqrt{b^2-4ac}}+C\quad\text{при }a<0.

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{5+x-x^2}}

\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\,dx

а)

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-3x^2-2x^4}}

;
б)

\displaystyle\int\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{1+\sin x+\cos^2x}}

\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}

\displaystyle\int\frac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}}\,dx

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}

\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+x+1}}

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+1}}

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-2}}

\displaystyle\int\frac{dx}{(x+2)^2\sqrt{x^2+2x-5}}

\displaystyle\int\sqrt{2+x-x^2}\,dx

\displaystyle\int\sqrt{2+x+x^2}\,dx

\displaystyle\int\sqrt{x^4+2x^2-1}\,x\,dx

\displaystyle\int\frac{1-x+x^2}{x\sqrt{1+x-x^2}}\,dx

\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x\sqrt{x^4+1}}\,dx

Задачи 201–238 из 238