Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1632

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1632

∫(ax+a2x2+a3x3)dx\displaystyle\int\left(\frac a x+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}\right)dx.
Ответ:aln⁡∣x∣−a2x−a32x2+C.a\ln|x|-\frac{a^2}{x}-\frac{a^3}{2x^2}+C.

Решение

При x≠0x\ne0 интегрируем сумму почленно:∫(ax+a2x2+a3x3)dx=\displaystyle \int\left(\frac{a}{x}+\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^3}{x^3}\right)dx\mathrel{=}a∫dxx+a2∫x−2dx+a3∫x−3dx=\displaystyle a\int\frac{dx}{x}+a^2\int x^{-2}dx+a^3\int x^{-3}dx\mathrel{=}aln⁡∣x∣−a2x−a32x2+C.\displaystyle a\ln|x|-\frac{a^2}{x}-\frac{a^3}{2x^2}+C.Первый интеграл табличный, остальные берутся по формуле интегрирования степени.
Демидович № 1632 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика