Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1650

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\tg^2x\,dx

Ответ:

\operatorname{tg}x-x+C.

Решение

Из тождества

1+\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x}

имеем

\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x}-1

. Полученную разность интегрируем почленно:

\displaystyle \int\operatorname{tg}^2x\,dx\mathrel{=}

Интеграл

\int\frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C

табличный.