Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1672

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\ch^2\frac x2}

Ответ:

2\operatorname{th}\dfrac{x}{2}+C

Решение

Положим

t=\dfrac{x}{2}, \qquad dx=2\,dt

Используем табличную формулу

\int\dfrac{dt}{\operatorname{ch}^2t} =\operatorname{th}t+C

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\operatorname{ch}^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} &=2\int\dfrac{dt}{\operatorname{ch}^2t}=\\ &=2\operatorname{th}t+C =2\operatorname{th}\dfrac{x}{2}+C\end{aligned}