Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1648

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1648

∫1−sin⁡2x dx\displaystyle\int\sqrt{1-\sin2x}\,dx (0≤x≤π)(0\le x\le\pi).
Ответ:{sin⁡x+cos⁡x+C,0≤x≤π4,22−sin⁡x−cos⁡x+C,π4≤x≤π.\begin{cases}
\sin x+\cos x+C,&0\le x\le\frac\pi4,\\
2\sqrt2-\sin x-\cos x+C,&\frac\pi4\le x\le\pi.
\end{cases}

Решение

Преобразуем выражение под корнем:1−sin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)2.1-\sin2x=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x)^2.Поэтому квадратный корень равен модулю:∫1−sin⁡2x dx=∫∣sin⁡x−cos⁡x∣ dx.\int\sqrt{1-\sin2x}\,dx=\int|\sin x-\cos x|\,dx.На отрезке [0,π][0,\pi] выражение sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x меняет знак при x=π4x=\frac\pi4, поэтому∣sin⁡x−cos⁡x∣={cos⁡x−sin⁡x,0≤x≤π4,sin⁡x−cos⁡x,π4≤x≤π.|\sin x-\cos x|=
\begin{cases}
\cos x-\sin x,&0\le x\le\frac\pi4,\\
\sin x-\cos x,&\frac\pi4\le x\le\pi.
\end{cases}Интегралы синуса и косинуса табличные. На первом промежутке∫(cos⁡x−sin⁡x)dx=sin⁡x+cos⁡x+C1,\int(\cos x-\sin x)dx=\sin x+\cos x+C_1,а на втором∫(sin⁡x−cos⁡x)dx=−cos⁡x−sin⁡x+C2.\int(\sin x-\cos x)dx=-\cos x-\sin x+C_2.Получаем∫1−sin⁡2x dx={sin⁡x+cos⁡x+C,0≤x≤π4,22−sin⁡x−cos⁡x+C,π4≤x≤π.\int\sqrt{1-\sin2x}\,dx=
\begin{cases}
\sin x+\cos x+C,&0\le x\le\frac\pi4,\\
2\sqrt2-\sin x-\cos x+C,&\frac\pi4\le x\le\pi.
\end{cases}
Демидович № 1648 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика