Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1669

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1669

∫dx1−cos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1-\cos x}.
Ответ:−ctg⁡x2+C,x≠2πk,k∈Z-\ctg\dfrac{x}{2}+C,
\qquad
x\ne2\pi k,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Используем тождество1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}Получаем∫dx1−cos⁡x=12∫dxsin⁡2x2=−ctg⁡x2+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{1-\cos x}
&=\dfrac{1}{2}\int
\dfrac{dx}{\sin^2\dfrac{x}{2}}
=-\ctg\dfrac{x}{2}+C
\end{aligned}Знаменатель исходной функции равен нулю приx=2πk,k∈Zx=2\pi k,
\qquad
k\in\mathbb ZПоэтому связными промежутками области определения являются(2πk,2π(k+1)),k∈Z\bigl(2\pi k,2\pi(k+1)\bigr),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.