Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1642

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1642

∫1+x2+1−x21−x4 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}\,dx.
Ответ:arcsin⁡x+ln⁡∣x+x2+1∣+C.\arcsin x + \ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C.

Решение

Рассматриваем интеграл при ∣x∣<1|x|<1. Разложим знаменатель:1−x4=(1−x2)(1+x2).1-x^4=(1-x^2)(1+x^2).Оба множителя положительны, поэтому1−x4=1−x21+x2.\sqrt{1-x^4}=\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}.Тогда∫1+x2+1−x21−x4 dx=\displaystyle \int\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\mathrel{=}∫(11−x2+11+x2)dx=\displaystyle \int\left(
\frac1{\sqrt{1-x^2}}
+
\frac1{\sqrt{1+x^2}}
\right)dx\mathrel{=}∫dx1−x2+∫dx1+x2.\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
+
\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.Оба интеграла табличные:∫dx1−x2=arcsin⁡x+C,∫dx1+x2=ln⁡∣x+x2+1∣+C.\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,
\qquad
\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}
=\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C.Поэтому∫1+x2+1−x21−x4 dx=arcsin⁡x+ln⁡∣x+x2+1∣+C.\int\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}\,dx
=
\arcsin x+\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|+C.
Демидович № 1642 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика