Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1629

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1629

∫x2(5−x)4 dx\displaystyle\int x^2(5-x)^4\,dx.
Ответ:6253x3−125x4+30x5−103x6+17x7+C.\frac{625}{3}x^3-125x^4+30x^5-\frac{10}{3}x^6+\frac17x^7+C.

Решение

Раскроем четвертую степень и домножим полученный многочлен на x2x^2:∫x2(5−x)4 dx=\displaystyle \int x^2(5-x)^4\,dx\mathrel{=}∫x2(625−500x+150x2−20x3+x4)dx=\displaystyle \int x^2\left(625-500x+150x^2-20x^3+x^4\right)dx\mathrel{=}∫(625x2−500x3+150x4−20x5+x6)dx=\displaystyle \int\left(625x^2-500x^3+150x^4-20x^5+x^6\right)dx\mathrel{=}625x33−500x44+150x55−20x66+x77+C=\displaystyle 625\frac{x^3}{3}-500\frac{x^4}{4}+150\frac{x^5}{5}-20\frac{x^6}{6}+\frac{x^7}{7}+C\mathrel{=}6253x3−125x4+30x5−103x6+17x7+C.\displaystyle \frac{625}{3}x^3-125x^4+30x^5-\frac{10}{3}x^6+\frac17x^7+C.