Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1628

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Задача 1628

∫(3−x2)3 dx\displaystyle\int(3-x^2)^3\,dx.
Ответ:27x−9x3+95x5−17x7+C.27x-9x^3+\frac95x^5-\frac17x^7+C.

Решение

Раскроем куб под интегралом, получим многочлен от xx, который легко интегрируется почленно∫(3−x2)3 dx=\displaystyle \int(3-x^2)^3\,dx\mathrel{=}∫(27−27x2+9x4−x6)dx=\displaystyle \int\left(27-27x^2+9x^4-x^6\right)dx\mathrel{=}27x−27x33+9x55−x77+C=\displaystyle 27x-27\frac{x^3}{3}+9\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+C\mathrel{=}27x−9x3+95x5−17x7+C.\displaystyle 27x-9x^3+\frac95x^5-\frac17x^7+C.