Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1654

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:

Доказать, что если

\int f(x)\,dx=F(x)+C,

то

\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C\qquad(a\ne0).

Доказано:

\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C

Доказательство

Равенство

\int f(x)\,dx=F(x)+C

означает, что

F'(x)=f(x)

. Рассмотрим функцию

G(x)=\frac1aF(ax+b).

По правилу производной сложной функции

G'(x)=\frac1aF'(ax+b)\cdot a=f(ax+b).

Значит,

G

является первообразной для

f(ax+b)

, и

\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C.

Что и требовалось доказать