Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1

Демидович § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Условия, ответы и подробные решения задач 1628–1865

Задачи 1628–1865

238 из 238 с разбором

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1678

∫x dx4+x2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{4+x^2}.

Задача 1679

∫x3 dxx8−2\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^8-2}.

Задача 1680

∫dx(1+x)x\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x)\sqrt x}.

Задача 1681

∫sin⁡1x⋅dxx2\displaystyle\int\sin\frac1x\cdot\frac{dx}{x^2}.

Задача 1682

∫dxxx2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}.

Задача 1683

∫dxxx2−1\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}.

Задача 1684

∫dx(x2+1)3/2\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}.

Задача 1685

∫x dx(x2−1)3/2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x^2-1)^{3/2}}.

Задача 1686

∫x2 dx(8x3+27)2/3\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(8x^3+27)^{2/3}}.

Задача 1687

∫dxx(1+x)\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x(1+x)}}.

Задача 1688

∫dxx(1−x)\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}.

Задача 1689

∫xe−x2 dx\displaystyle\int xe^{-x^2}\,dx.

Задача 1690

∫ex dx2+ex\displaystyle\int\frac{e^x\,dx}{2+e^x}.

Задача 1691

∫dxex+e−x\displaystyle\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}}.

Задача 1692

∫dx1+e2x\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^{2x}}}.

Задача 1693

∫ln⁡2xx dx\displaystyle\int\frac{\ln^2x}{x}\,dx.

Задача 1694

∫dxxln⁡xln⁡(ln⁡x)\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}.

Задача 1695

∫sin⁡5xcos⁡x dx\displaystyle\int\sin^5x\cos x\,dx.

Задача 1696

∫sin⁡xcos⁡3x dx\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^3x}}\,dx.

Задача 1697

∫tg⁡x dx\displaystyle\int\tg x\,dx.

Задача 1698

∫ctg⁡x dx\displaystyle\int\ctg x\,dx.

Задача 1699

∫sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x3 dx\displaystyle\int\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\,dx.

Задача 1700

а) ∫sin⁡xcos⁡xa2sin⁡2x+b2cos⁡2x dx;б) ∫sin⁡xcos⁡2x dx;\text{а) }\int\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}\,dx;\qquad
\text{б) }\int\frac{\sin x}{\sqrt{\cos2x}}\,dx;в) ∫cos⁡xcos⁡2x dx;г) ∫sh⁡xch⁡2x dx.\text{в) }\int\frac{\cos x}{\sqrt{\cos2x}}\,dx;\qquad
\text{г) }\int\frac{\sh x}{\sqrt{\ch2x}}\,dx.

Задача 1701

∫dxsin⁡2xctg⁡x4\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x\sqrt[4]{\ctg x}}.

Задача 1702

∫dxsin⁡2x+2cos⁡2x\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x+2\cos^2x}.

Задача 1703

∫dxsin⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x}.

Задача 1704

∫dxcos⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x}.

Задача 1705

∫dxsh⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\sh x}.

Задача 1706

∫dxch⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{\ch x}.

Задача 1707

∫sh⁡xch⁡xsh⁡4x+ch⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sh x\ch x}{\sqrt{\sh^4x+\ch^4x}}\,dx.

Задача 1708

∫dxch⁡2xtanh⁡2x3\displaystyle\int\frac{dx}{\ch^2x\sqrt[3]{\tanh^2x}}.

Задача 1709

∫arctg⁡x1+x2 dx\displaystyle\int\frac{\arctg x}{1+x^2}\,dx.

Задача 1710

∫dx(arcsin⁡x)21−x2\displaystyle\int\frac{dx}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1711

∫ln⁡(x+1+x2)1+x2 dx\displaystyle\int\sqrt{\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}\,dx.

Задача 1712

∫x2+1x4+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx.

Задача 1713

∫x2−1x4+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+1}\,dx.

Задача 1714

∫x4 dx(x5+1)4\displaystyle\int\frac{x^4\,dx}{(x^5+1)^4}.

Задача 1715

∫xn/2 dx1+xn+2\displaystyle\int\frac{x^{n/2}\,dx}{\sqrt{1+x^{n+2}}}.

Задача 1716

∫11−x2ln⁡1+x1−x dx\displaystyle\int\frac1{1-x^2}\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx.

Задача 1717

∫cos⁡x dx2+cos⁡2x\displaystyle\int\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{2+\cos2x}}.

Задача 1718

∫sin⁡xcos⁡xsin⁡4x+cos⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx.

Задача 1719

∫2x⋅3x9x−4x dx\displaystyle\int\frac{2^x\cdot3^x}{9^x-4^x}\,dx.

Задача 1720

∫x dx1+x2+(1+x2)3\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}}.
Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1721

а) ∫x2(2−3x2)2 dx\displaystyle\int x^2(2-3x^2)^2\,dx; б) ∫x(1−x)10 dx\displaystyle\int x(1-x)^{10}\,dx.

Задача 1722

∫1+x1−x dx\displaystyle\int\frac{1+x}{1-x}\,dx.

Задача 1723

∫x21+x dx\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x}\,dx.

Задача 1724

∫x23+x dx\displaystyle\int\frac{x^2}{3+x}\,dx.

Задача 1725

∫(1+x)21+x2 dx\displaystyle\int\frac{(1+x)^2}{1+x^2}\,dx.

Задача 1726

∫(2−x)22−x2 dx\displaystyle\int\frac{(2-x)^2}{2-x^2}\,dx.

Задача 1727

∫x2(1−x)100 dx\displaystyle\int\frac{x^2}{(1-x)^{100}}\,dx.

Задачи 51–100 из 238