Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 587

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 587

Найти пределlim⁡n→∞[narctg⁡1n(x2+1)+x⋅tg⁡n(π4+x2n)]\lim_{n\to\infty}
\left[
n\operatorname{arctg}\frac{1}{n(x^2+1)+x}
\cdot
\operatorname{tg}^n\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)
\right]
Ответ:Для любого фиксированного x∈Rx\in\mathbb Rexx2+1\frac{e^x}{x^2+1}

Решение

Здесь xx фиксировано. Положимvn=1n(x2+1)+xv_n=\frac1{n(x^2+1)+x}Тогда vn→0v_n\to0, и для первого множителяnarctg⁡vn=nn(x2+1)+x⋅arctg⁡vnvn⟶1x2+1n\operatorname{arctg} v_n
=\frac{n}{n(x^2+1)+x}
\cdot\frac{\operatorname{arctg} v_n}{v_n}
\longrightarrow\frac1{x^2+1}Поскольку xx фиксировано иπ4+x2n⟶π4\frac\pi4+\frac{x}{2n}\longrightarrow\frac\pi4то при достаточно больших nn этот угол принадлежит
(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right). Следовательно, тангенс положителен и его
можно логарифмировать.
В №538 выведен пределln⁡tan⁡(π/4+u)u⟶2(u→0).\frac{\ln\tan(\pi/4+u)}u\longrightarrow2\qquad(u\to0).Если x≠0x\ne0, положим u=x/(2n)u=x/(2n). Тогда nu=x/2nu=x/2, поэтомуnln⁡tan⁡(π4+x2n)=x2ln⁡tan⁡(π/4+u)u⟶x2⋅2=x.n\ln\tan\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)
=\frac{x}{2}\frac{\ln\tan(\pi/4+u)}u\longrightarrow\frac{x}{2}\cdot2=x.При x=0x=0 тангенс равен 11 для всех nn, и тот же предел логарифма равен нулю. Таким образом, степенной множитель стремится к exe^x. Умножая на уже найденный предел первого множителя, получаем ex/(1+x2)e^x/(1+x^2).
Демидович № 587 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика