Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 587

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 587

Найти пределlim⁡n→∞[narctg⁡1n(x2+1)+x⋅tg⁡n(π4+x2n)]\lim_{n\to\infty}
\left[
n\operatorname{arctg}\frac{1}{n(x^2+1)+x}
\cdot
\operatorname{tg}^n\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)
\right]
Ответ:Для любого фиксированного x∈Rx\in\mathbb Rexx2+1\frac{e^x}{x^2+1}

Решение

Идея

Здесь xx фиксировано. Положимvn=1n(x2+1)+xv_n=\frac1{n(x^2+1)+x}Тогда vn→0v_n\to0, и для первого множителяnarctg⁡vn=nn(x2+1)+x⋅arctg⁡vnvn⟶1x2+1n\operatorname{arctg} v_n
=\frac{n}{n(x^2+1)+x}
\cdot\frac{\operatorname{arctg} v_n}{v_n}
\longrightarrow\frac1{x^2+1}Поскольку xx фиксировано иπ4+x2n⟶π4\frac\pi4+\frac{x}{2n}\longrightarrow\frac\pi4то при достаточно больших nn этот угол принадлежит
(0,π2)\left(0,\frac\pi2\right). Следовательно, тангенс положителен и его
можно логарифмировать.

Проверка

Обоснуем используемую эквивалентность. При u→0u\to0tg⁡(π4+u)=1+tg⁡u1−tg⁡u=1+2u+o(u)\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+u\right)
=\frac{1+\operatorname{tg} u}{1-\operatorname{tg} u}
=1+2u+o(u)Поэтому из ln⁡(1+w)=w+o(w)\ln(1+w)=w+o(w) следуетln⁡tg⁡(π4+u)=2u+o(u),u→0\ln\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+u\right)=2u+o(u),
\qquad u\to0При u=x2nu=\frac{x}{2n} получаемnln⁡tg⁡(π4+x2n)=x+o(1)n\ln\operatorname{tg}\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)
=x+o(1)Следовательно,tg⁡n(π4+x2n)⟶ex\operatorname{tg}^n\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)\longrightarrow e^x
Демидович № 587 — решение и ответ