Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 591

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1{x^{100}}e^{-\frac1{x^2}}; \qquad \text{б) }\lim_{x\to0^+}x\ln x

Ответ:а)

0

б)

0

Решение

Положим

t=\frac1{x^2}

. Тогда при

x\to0

имеем

t\to+\infty

, а

\frac1{x^{100}}e^{-\frac1{x^2}} =t^{50}e^{-t}=\frac{t^{50}}{e^t}\longrightarrow0

Последний предел равен нулю по №564 с основанием

e

и степенью

50

; число

50

возникает из

x^{-100}=(x^{-2})^{50}

Положим

t=-\ln x

. При

x\to0^+

имеем

t\to+\infty

x=e^{-t}

. Поэтому

x\ln x=-te^{-t}=-\frac{t}{e^t}\longrightarrow0