Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 591

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 591

Найти пределы:а) lim⁡x→01x100e−1x2;б) lim⁡x→0+xln⁡x\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1{x^{100}}e^{-\frac1{x^2}};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0^+}x\ln x
Ответ:0000

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Положим t=1x2t=\frac1{x^2}. Тогда при x→0x\to0 имеем
    t→+∞t\to+\infty, а1x100e−1x2=t50e−t=t50et⟶0\frac1{x^{100}}e^{-\frac1{x^2}}
    =t^{50}e^{-t}=\frac{t^{50}}{e^t}\longrightarrow0    Последний предел равен нулю, поскольку экспонента растёт быстрее любой
    фиксированной степени.
  2. 2

    Пункт б)

    Положим t=−ln⁡xt=-\ln x. При x→0+x\to0^+ имеем
    t→+∞t\to+\infty и x=e−tx=e^{-t}. Поэтомуxln⁡x=−te−t=−tet⟶0x\ln x=-te^{-t}=-\frac{t}{e^t}\longrightarrow0
Демидович № 591 — решение и ответ